In het seizoen 2013/14 brak Klaassen definitief door bij Ajax en hij was ook de aanvoerder van het team dat in 2016/17 de finale van de Europa League bereikte. Hij maakte dusdanig veel indruk
dat Everton hem vervolgens overnam, maar daar mislukte de Oranje-international echter. Bij Werder Bremen was Klaassen vervolgens wel belangrijk, maar toen Ajax in oktober 2020 aanklopte twijfelde Klaassen geen moment en keerde hij terug.
In de zomer van 2023 verliet Klaassen Ajax voor een avontuur bij Inter. Met die club werd hij kampioen, maar liep zijn contract vervolgens af. Na afloop van de transferperiode keerde Klaassen in september 2024 voor de tweede keer terug bij Ajax.